理想

理想

在序理论中，理想是偏序集合的一个特殊子集偏序，表示为集合(P,≤)的非空子集I称为一个理想。

在环论中，理想（Ideal）是一个抽象代数中的概念。

理想的对偶概念，就是说通过反转所有的≤并且交换V为A获得的概念是滤子。

在整个数学学科中，理想的概念还涉及代数数论，是理想概念的推广，也叫分式理想。

当然亚直不可约环有极小理想，有极小理想的环未必有极小左理想。

环论

1、定义

定义（环上的左理想、右理想、双边理想、理想）：

环的一个加法子群，如果对于的两个乘法运算，满足条件：

有，则称是环的一个左理想。

类似地，若满足

有，则称是环的一个右理想。

若既是的左理想又是的右理想，则称为的双边理想。

满足的左，右或双边理想称为真理想。

交换环的左右理想不分，通常简称为的理想。

2、性质

任何极大理想都是素理想，任何素理想都是根理想。

戴德金环的分式理想全体构成一个乘法阿贝尔群，由其素理想生成。

3、历史

理想概念是斯通（Stone，M.H.）于1934年提出的。

代数

域K上代数A的理想是A作为环的理想，且同时为A的子模。

序理论

定义（一般偏序集上的理想）

偏序集合的非空子集称为一个理想，当且仅当：

是下闭的：即,；

是有向的。即，，使，。

定义（格上的理想）

理想最初只在格上定义，这是偏序集上理想的特殊情况。与上述定义等价的定义如下。

格的非空子集是理想，当且仅当：

是下闭的。

对于有限并(上确界)运算封闭，即，,有。

代数数论

亦称分式理想，是理想概念的推广。

整环，为其商域（分式域），是模。称为分式理想，当且仅当

。

通常的理想（又称整理想）也是分式理想。

集合论

在集合论中，理想是一种特殊的集族。它与滤子相对偶。零S是一非空集，S上的理想F是由S的子集所组成的集族。它满足下列条件：

1、，且；

2、若X∈F，Y∈F，则X∪Y∈F；

3、若Y∈F，且XY，则X∈F；

S上的理想F'被称为素理想，如果对每个XS，有X∈F'或S-X∈F'。